高校数学における複素数平面の背景

数学2において複素数というものを習った.

具体的には, 方程式 x^2 + 1= 0の解の一つを iと書き, 複素数 a + bi \ (a, b \in \mathbb{R}) という形で表されているもので, 和, 差, 積, 商, 共役を考えることができるという内容であった.

 

まずは x^2 + 1 = 0の解について考える.

実数 xに対して x^2 \ge 0が成立していることにより x^2 + 1 > 0となってしまい実数解は持たないことが分かる.

そこで, 逆に解を持つような数の世界を考えようとする.

様々な構成法があるが, 一つだけ挙げてみよう.

まず \mathbb{R}は体である.

つまり, 四則演算ができる集合である.

体で,  \mathbb{R}より大きな体を考えたい.

そこで, 多項式 x^2 + 1 \mathbb{R}内に解を持たないので \mathbb{R} x^2 + 1で生成される単項イデアルで割った剰余環 \mathbb{R} / (x^2 + 1)を考える.

これは x^2 + 1 = 0の解まで含めた集合であるからそれを \mathbb{C}と書く, というものである.

いわゆる体の拡大により定義するもので, これはGalois理論と関係がある.

 

次は \mathbb{C}の代数構造に注目してみよう.

 \mathbb{C}には和, 差, 積, 商, 共役, 絶対値が定義され, その絶対値は特別な条件 |z|^2 = |z \overline{z}|を満たす.

これが重要な条件である.

一般化すると, 集合 Aに和, 差, 積, 商, 対合(共役の性質を持つ演算), ノルム(絶対値の性質をもつ, 一種の大きさをはかるもの)が定義されていて, そのノルムは完備(Cauchy列は収束列)で,  \| a^2 \| = \| a^* a \|を満たすもの(さらに劣乗法性も必要), といえる.

これを満たす AをC*環という.

 \mathbb{C}はC*環の一例であるといえる.

 

最後に \mathbb{C}の幾何的構造に注目してみる.

 \mathbb{C}は平面と思えるので,  \mathbb{R}^2と同じであるといえる.

さらに,  \mathbb{C}は実は球面で, 北極点を除いた S \setminus \{ (0, 0, 0) \}と同一視できる.

ここに,  Sは半径1の単位球面である.

そこで, 北極点に相当する無限遠 \inftyを加えた集合 \mathbb{C} \cup \{ \infty \} Sと同一視できる.

これを一点コンパクト化といい, $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$をRiemann面という.

さらに一般化してRiemann面を多様体の一種として定義できる.

なお, 多様体とは各点の近傍で地図が書けるような集合である.

対称群について

まずは定義を述べよう.

 

 N_n := \{ 1, \cdots, n \}とおく. 

 S_n := \{ \sigma \colon N_n \to N_n \mathrel{|} \sigma  \colon 全単射 \} n次対称群という. 

これは合成に関して群をなす. 

 S_nの元を( n次)の置換という. 

 i \neq jに対して,  (i \ j) \colon N_n \to N_n

 \begin{equation*} (i \ j)(m) := \begin{cases} i \ (m = j) \\ j \ (m = i) \\ m \ (m \neq i, j) \end{cases} \end{equation*}と定め,  i, jの互換という. 

また,  A_n := \prod_{1 \leq i \neq  j \leq n, i \le j} (j - i)とおき,  \sigma \in S_nに対して

 \begin{equation*} sgn(\sigma) := \prod_{1 \leq i \neq j \leq n, i \le j} \dfrac{1}{A_n} ( \sigma(j) - \sigma(i) ) \end{equation*} \sigmaの符号という. 

また,  \sigmaは,  sgn(\sigma) = 1のとき偶置換,  sgn(\sigma) = -1のとき奇置換であるという.  

 

 

以下ではすぐに分かる結果を羅列する. 

  •   (i \ j) = (j \ i),  (i \ j)^2 = 1である. 
  •  S_nの位数は n!である. 
  •  S_nの任意の元は互換の積でかける. 
  •  sgn \colon S_n \to \{ -1, 1 \}全射準同型で, 特に互換は奇置換である. 
  •  \sigma = \tau_1 \cdots \tau_rと互換の積でかけているとき,  sgn(\sigma) = (-1)^rである. 

凸集合について

 A n次元Euclid空間内の部分集合とする. 

 Aが凸であるとは,  A内の任意の x, yと0より大きく1未満の tに対して,  (1 - t)x + ty \in Aであるときにいう. 

つまり,  Aの任意の二点からなる線分が Aに属するときにいう. 

例は次の通りである. 

  • 線分, 直線は凸集合である. 
  • 円, 三角形は凸集合である. 
  • 扇型は凸集合でない. 

発展的な話題としては, 例えば凸多面体論, 局所凸空間, 単体的複体などがある. 

可換von Neumann環と可換C*環

C*環とvon Neumann環の定義は別のところで述べることとする. 

  • 可換von Neumann環は, 同型を除いて L^\infty(\Omega, \mu)しかないことが知られている. 

ここに,  \Omegaは第二可算公理を満たすコンパクトHausdorff空間で,  \muは正測度である. 

  • 単位的可換C*環は, 同型を除いて C(X)しかないことが知られている.

ここに,  XはコンパクトHausdorff空間である. 

 

以上のことから, 標語的に

「von Neumann環は非可換測度論」, 「C*環は非可換トポロジー

とも呼ばれる. 

放物線の接線の方程式について

二次曲線における「接線の方程式」とは, 二つ定義がある. 

  1. 二次曲線と直線とが共有点をただ一つもつとき, その直線を接線という. 
  2. 微分係数を用いたもの. 

その二つが実は同じであることを確認する. 

 

放物線 y^2 = 4px P(x_1, \ y_1)における接線の方程式は

 \begin{equation} y_1 y = 2p(x + x_1) \end{equation} 

である.

  •  P(x_1, \ y_1)を放物線の式に代入すると,  y_1^2 = 4px_1である.

また, 二次曲線のPにおける接線は,  mを用いて

 \begin{equation*} y = m(x - x_1) + y_1 \end{equation*}

と表せる.

よって,  y^2 = 4pxにこの接線の方程式を代入すると,  x二次方程式

 \begin{align*} (m(x - x_1) + y_1)^2 = 4px \\ m^2(x^2 - 2xx_1 + x_1^2) + 2my_1(x - x_1) + y_1^2 = 4px \\ m^2x^2 -2(m^2x_1 -my_1 + 2p)x + m^2x_1^2 - 2mx_1y_1 + y_1^2 = 0 \end{align*}

を得る.

この二次方程式は重解 x = x_1を持たねばならない.

つまり, この二次方程式は, その判別式 Dが0で, かつ,  x = x_1を解にもつと言い換えられる.

 x = x_1を持つので, 判別式が0であることを考えると

 \begin{align*} \dfrac{2(m^2x_1 - my_1 + 2p)}{2m^2} = x_1 \\ 2m^2x_1 - 2my_1 + 4p = 2m^2 x_1 \\ - 2my_1 + 4p = 0 \\ m = \dfrac{2p}{y_1} \end{align*}

したがって,  y = m(x - x_1) + y_1を思い出すと

 \begin{align*} y = \dfrac{2p}{y_1}(x - x_1) + y_1 \\ y_1y = 2p(x - x_1) + y_1^2 \\ y_1y = 2p(x - x_1) + 4px_1 \\ y_1 y  = 2p(x + x_1) \end{align*}

が得られた.

  •  y^2 = 4px x微分すると,  2yy' = 4p, つまり,  y' = \frac{2p}{y} である.

よって,  P(x_1, \ y_1)における接線の方程式は

 \begin{equation*} y = \dfrac{2p}{y_1}(x - x_1) + y_1  \end{equation*}

このあとの計算は上と同様である.

仮説検定について

 

今日, テレビにて「仮説検定」の話題が取り上げられていた。

2020年からの新しい学習指導要領(厳密には校種により違うと思う)にて, 数学1で仮説検定の単元が追加されるみたいである。

私が高校のときにはなかったので, 仮説検定の考え方を備忘録としてまとめておく。

ただ, ぱっと本を見てまとめただけなので正しくはないはずで, 参考にもならない。

 

仮説検定とは, 簡単にいうと統計学における背理法の具現化ではないかと考えた。

つまり, ある命題を仮定して真か偽かを判断する一つの方法である。

 

帰無仮説とは, 本来望んでいる事実の否定命題である。

一方, 対立仮説とは帰無仮説の否定命題である。

そして, 有意水準と呼ばれる基準を満たせば, 帰無仮説を採択する, 満たさなければ帰無仮説を棄却するという。

ここで重要だと考えるのが, ある有意水準帰無仮説が採択されたとしても対立仮説が正しくないというわけでもない。

日本語命題が排中律を常に満たすわけではないことによるものなのかと考える。