2022-05-28

高校数学における複素数平面の背景

数学2において複素数というものを習った.

具体的には, 方程式 $x^2 + 1= 0$ の解の一つを $i$ と書き, 複素数は $a + bi \ (a, b \in \mathbb{R})$ という形で表されているもので, 和, 差, 積, 商, 共役を考えることができるという内容であった.

まずは $x^2 + 1 = 0$ の解について考える.

実数 $x$ に対して $x^2 \ge 0$ が成立していることにより $x^2 + 1 ＞ 0$ となってしまい実数解は持たないことが分かる.

そこで, 逆に解を持つような数の世界を考えようとする.

様々な構成法があるが, 一つだけ挙げてみよう.

まず $\mathbb{R}$ は体である.

つまり, 四則演算ができる集合である.

体で, $\mathbb{R}$ より大きな体を考えたい.

そこで, 多項式 $x^2 + 1$ は $\mathbb{R}$ 内に解を持たないので $\mathbb{R}$ を $x^2 + 1$ で生成される単項イデアルで割った剰余環 $\mathbb{R} / (x^2 + 1)$ を考える.

これは $x^2 + 1 = 0$ の解まで含めた集合であるからそれを $\mathbb{C}$ と書く, というものである.

いわゆる体の拡大により定義するもので, これはGalois理論と関係がある.

次は $\mathbb{C}$ の代数構造に注目してみよう.

$\mathbb{C}$ には和, 差, 積, 商, 共役, 絶対値が定義され, その絶対値は特別な条件 $|z|^2 = |z \overline{z}|$ を満たす.

これが重要な条件である.

一般化すると, 集合 $A$ に和, 差, 積, 商, 対合(共役の性質を持つ演算), ノルム(絶対値の性質をもつ, 一種の大きさをはかるもの)が定義されていて, そのノルムは完備(Cauchy列は収束列)で, $\| a^2 \| = \| a^* a \|$ を満たすもの(さらに劣乗法性も必要), といえる.

これを満たす $A$ をC*環という.

$\mathbb{C}$ はC*環の一例であるといえる.

最後に $\mathbb{C}$ の幾何的構造に注目してみる.

$\mathbb{C}$ は平面と思えるので, $\mathbb{R}^2$ と同じであるといえる.

さらに, $\mathbb{C}$ は実は球面で, 北極点を除いた $S \setminus \{ (0, 0, 0) \}$ と同一視できる.

ここに, $S$ は半径1の単位球面である.

そこで, 北極点に相当する無限遠点 $\infty$ を加えた集合 $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ は $S$ と同一視できる.

これを一点コンパクト化といい, $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$をRiemann面という.

さらに一般化してRiemann面を多様体の一種として定義できる.

なお, 多様体とは各点の近傍で地図が書けるような集合である.

2022-05-28

1のn乗根の解について

高校数学

$z^n = 1$ の解を求めよう.

まずは $z$ を極形式で表してみる.

$|z|^n = |z^n| = 1$ かつ $|z| ＞ 0$ により, $|z| = 1$ が分かる.

$z = \cos \theta + i \sin \theta$ とおくと, De Moivreの定理と $z^n = 1$ より,

$\begin{equation*} \cos n \theta + i \sin n \theta = \cos 0 + i \sin0 \end{equation*}$

と表すことができる.

これは恒等式であるので,

$\begin{equation*} n \theta = 0 + 2k\pi \text{ ($k \in \mathbb{Z}$) } \end{equation*}$

が成立する.

これにより, $\theta = \dfrac{2k\pi}{n}$ が分かり, $0 \leq \theta ＜ 2\pi$ の範囲では解を $n$ 個持つことが分かる.

2022-02-22

対称群について

大学数学群論

まずは定義を述べよう.

$N_n := \{ 1, \cdots, n \}$ とおく.

$S_n := \{ \sigma \colon N_n \to N_n \mathrel{|} \sigma \colon 全単射 \}$ を $n$ 次対称群という.

これは合成に関して群をなす.

$S_n$ の元を( $n$ 次)の置換という.

$i \neq j$ に対して, $(i \ j) \colon N_n \to N_n$ を

$\begin{equation*} (i \ j)(m) := \begin{cases} i \ (m = j) \\ j \ (m = i) \\ m \ (m \neq i, j) \end{cases} \end{equation*}$ と定め, $i, j$ の互換という.

また, $A_n := \prod_{1 \leq i \neq j \leq n, i \le j} (j - i)$ とおき, $\sigma \in S_n$ に対して

$\begin{equation*} sgn(\sigma) := \prod_{1 \leq i \neq j \leq n, i \le j} \dfrac{1}{A_n} ( \sigma(j) - \sigma(i) ) \end{equation*}$ を $\sigma$ の符号という.

また, $\sigma$ は, $sgn(\sigma) = 1$ のとき偶置換, $sgn(\sigma) = -1$ のとき奇置換であるという.

以下ではすぐに分かる結果を羅列する.

$(i \ j) = (j \ i)$ , $(i \ j)^2 = 1$ である.
$S_n$ の位数は $n!$ である.
$S_n$ の任意の元は互換の積でかける.
$sgn \colon S_n \to \{ -1, 1 \}$ は全射準同型で, 特に互換は奇置換である.
$\sigma = \tau_1 \cdots \tau_r$ と互換の積でかけているとき, $sgn(\sigma) = (-1)^r$ である.

2022-02-18

凸集合について

$A$ を $n$ 次元Euclid空間内の部分集合とする.

$A$ が凸であるとは, $A$ 内の任意の $x, y$ と0より大きく1未満の $t$ に対して, $(1 - t)x + ty \in A$ であるときにいう.

つまり, $A$ の任意の二点からなる線分が $A$ に属するときにいう.

例は次の通りである.

線分, 直線は凸集合である.
円, 三角形は凸集合である.
扇型は凸集合でない.

発展的な話題としては, 例えば凸多面体論, 局所凸空間, 単体的複体などがある.

2022-02-16

可換von Neumann環と可換C*環

作用素環論大学数学

C*環とvon Neumann環の定義は別のところで述べることとする.

可換von Neumann環は, 同型を除いて $L^\infty(\Omega, \mu)$ しかないことが知られている.

ここに, $\Omega$ は第二可算公理を満たすコンパクトHausdorff空間で, $\mu$ は正測度である.

単位的可換C*環は, 同型を除いて $C(X)$ しかないことが知られている.

ここに, $X$ はコンパクトHausdorff空間である.

以上のことから, 標語的に

「von Neumann環は非可換測度論」, 「C*環は非可換トポロジー」

とも呼ばれる.

2022-02-15

放物線の接線の方程式について

高校数学

二次曲線における「接線の方程式」とは, 二つ定義がある.

二次曲線と直線とが共有点をただ一つもつとき, その直線を接線という.
微分係数を用いたもの.

その二つが実は同じであることを確認する.

放物線 $y^2 = 4px$ の $P(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は

$\begin{equation} y_1 y = 2p(x + x_1) \end{equation}$

である.

$P(x_1, \ y_1)$ を放物線の式に代入すると, $y_1^2 = 4px_1$ である.

また, 二次曲線のPにおける接線は, $m$ を用いて

$\begin{equation*} y = m(x - x_1) + y_1 \end{equation*}$

と表せる.

よって, $y^2 = 4px$ にこの接線の方程式を代入すると, $x$ の二次方程式

$\begin{align*} (m(x - x_1) + y_1)^2 = 4px \\ m^2(x^2 - 2xx_1 + x_1^2) + 2my_1(x - x_1) + y_1^2 = 4px \\ m^2x^2 -2(m^2x_1 -my_1 + 2p)x + m^2x_1^2 - 2mx_1y_1 + y_1^2 = 0 \end{align*}$