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対称群について

大学数学群論

まずは定義を述べよう.

$N_n := \{ 1, \cdots, n \}$ とおく.

$S_n := \{ \sigma \colon N_n \to N_n \mathrel{|} \sigma \colon 全単射 \}$ を $n$ 次対称群という.

これは合成に関して群をなす.

$S_n$ の元を( $n$ 次)の置換という.

$i \neq j$ に対して, $(i \ j) \colon N_n \to N_n$ を

$\begin{equation*} (i \ j)(m) := \begin{cases} i \ (m = j) \\ j \ (m = i) \\ m \ (m \neq i, j) \end{cases} \end{equation*}$ と定め, $i, j$ の互換という.

また, $A_n := \prod_{1 \leq i \neq j \leq n, i \le j} (j - i)$ とおき, $\sigma \in S_n$ に対して

$\begin{equation*} sgn(\sigma) := \prod_{1 \leq i \neq j \leq n, i \le j} \dfrac{1}{A_n} ( \sigma(j) - \sigma(i) ) \end{equation*}$ を $\sigma$ の符号という.

また, $\sigma$ は, $sgn(\sigma) = 1$ のとき偶置換, $sgn(\sigma) = -1$ のとき奇置換であるという.

以下ではすぐに分かる結果を羅列する.

$(i \ j) = (j \ i)$ , $(i \ j)^2 = 1$ である.
$S_n$ の位数は $n!$ である.
$S_n$ の任意の元は互換の積でかける.
$sgn \colon S_n \to \{ -1, 1 \}$ は全射準同型で, 特に互換は奇置換である.
$\sigma = \tau_1 \cdots \tau_r$ と互換の積でかけているとき, $sgn(\sigma) = (-1)^r$ である.