放物線の接線の方程式について

二次曲線における「接線の方程式」とは, 二つ定義がある.

二次曲線と直線とが共有点をただ一つもつとき, その直線を接線という.
微分係数を用いたもの.

その二つが実は同じであることを確認する.

放物線 $y^2 = 4px$ の $P(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は

$\begin{equation} y_1 y = 2p(x + x_1) \end{equation}$

である.

$P(x_1, \ y_1)$ を放物線の式に代入すると, $y_1^2 = 4px_1$ である.

また, 二次曲線のPにおける接線は, $m$ を用いて

$\begin{equation*} y = m(x - x_1) + y_1 \end{equation*}$

と表せる.

よって, $y^2 = 4px$ にこの接線の方程式を代入すると, $x$ の二次方程式

$\begin{align*} (m(x - x_1) + y_1)^2 = 4px \\ m^2(x^2 - 2xx_1 + x_1^2) + 2my_1(x - x_1) + y_1^2 = 4px \\ m^2x^2 -2(m^2x_1 -my_1 + 2p)x + m^2x_1^2 - 2mx_1y_1 + y_1^2 = 0 \end{align*}$

を得る.

この二次方程式は重解 $x = x_1$ を持たねばならない.

つまり, この二次方程式は, その判別式 $D$ が0で, かつ, $x = x_1$ を解にもつと言い換えられる.

解 $x = x_1$ を持つので, 判別式が0であることを考えると

$\begin{align*} \dfrac{2(m^2x_1 - my_1 + 2p)}{2m^2} = x_1 \\ 2m^2x_1 - 2my_1 + 4p = 2m^2 x_1 \\ - 2my_1 + 4p = 0 \\ m = \dfrac{2p}{y_1} \end{align*}$

したがって, $y = m(x - x_1) + y_1$ を思い出すと

$\begin{align*} y = \dfrac{2p}{y_1}(x - x_1) + y_1 \\ y_1y = 2p(x - x_1) + y_1^2 \\ y_1y = 2p(x - x_1) + 4px_1 \\ y_1 y = 2p(x + x_1) \end{align*}$

が得られた.

$y^2 = 4px$ を $x$ で微分すると, $2yy' = 4p$ , つまり, $y' = \frac{2p}{y}$ である.

よって, $P(x_1, \ y_1)$ における接線の方程式は

$\begin{equation*} y = \dfrac{2p}{y_1}(x - x_1) + y_1 \end{equation*}$

このあとの計算は上と同様である.